Question

14．数列{a_n}，{b_n}都是等比数列，当n≤3时，b_n-a_n=2n，若数列{a_n}唯一，则a₁=（　　）

• A． -2
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 设出等比数列{a_n}的公比，根据b_n-a_n=2n得到数列{b_n}的前三项，由等比数列的性质得到${a}_{1}{q}^{2}-4{a}_{1}q+3{a}_{1}-2=0$，再由等比数列{a_n}唯一可得方程的判别式等于0，或判别式大于0时有一0根一非0根，由此求解a₁的值．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，则
当n=1时，b₁-a₁=2，b₁=a₁+2，
当n=2时，b₂-a₂=b₂-a₁q=4，b₂=a₁q+4，
当n=3时，b₃-a₃=${b}_{3}-{a}_{1}{q}^{2}$=6，${b}_{3}={a}_{1}{q}^{2}+6$，
∵{b_n}是等比数列，∴${{b}_{2}}^{2}={b}_{1}{b}_{3}$，即$（{a}_{1}q+4）^{2}=（{a}_{1}+1）（{a}_{1}{q}^{2}+6）$，
∴${a}_{1}{q}^{2}-4{a}_{1}q+3{a}_{1}-2=0$，
∵数列a_n唯一，
∴若上式为完全平方式，
则△=b²-4ac=$16{{a}_{1}}^{2}-4{a}_{1}（3{a}_{1}-2）=4{{a}_{1}}^{2}+8{a}_{1}$=0．
解得a₁=-2（舍去）或者a₁=0（舍去）．
或△＞0时，方程${a}_{1}{q}^{2}-4{a}_{1}q+3{a}_{1}-2=0$有一0根和一非0根，
由根与系数关系得到3a₁-2=0，即${a}_{1}=\frac{2}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比数列的性质，训练了二次方程有两相等实根的条件，是中档题．