题目内容
【题目】【2016年高考四川理数】设函数f(x)=ax2-a-lnx,其中a ∈R.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)确定a的所有可能取值,使得在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).
【答案】(Ⅰ)当时,
<0,
单调递减;当
时,
>0,
单调递增;(Ⅱ)
.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)对求导,对
进行讨论,研究
的正负,可判断函数的单调性;(Ⅱ)要证明不等式
在
上恒成立,基本方法是设
,当
时,
,
的解不易确定,因此结合(Ⅰ)的结论,缩小
的范围,设
=
,并设
=
,通过研究
的单调性得
时,
,从而
,这样得出
不合题意,又
时,
的极小值点
,且
,也不合题意,从而
,此时考虑
得
,得此时
单调递增,从而有
,得出结论.
试题解析:(I)
<0,
在
内单调递减.
由
=0,有
.
此时,当时,
<0,
单调递减;
当时,
>0,
单调递增.
(II)令=
,
=
.
则=
.
而当时,
>0,
所以在区间
内单调递增.
又由=0,有
>0,
从而当时,
>0.
当,
时,
=
.
故当>
在区间
内恒成立时,必有
.
当时,
>1.
由(I)有,从而
,
所以此时>
在区间
内不恒成立.
当时,令
,
当时,
,
因此,在区间
单调递增.
又因为,所以当
时,
,即
恒成立.
综上,.
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