Question

16．证明：$\sqrt{1×2}$+$\sqrt{2×3}$+…+$\sqrt{n（n+1）}$＜$\frac{（n+1）^{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根据基本不等式的性质和放缩法即可证明．

解答 解：∵$\sqrt{n（n+1）}$＜$\frac{n+n+1}{2}$=n+$\frac{1}{2}$，
∴$\sqrt{1×2}$+$\sqrt{2×3}$+…+$\sqrt{n（n+1）}$＜（1+$\frac{1}{2}$）+（2+$\frac{1}{2}$）+…+n+$\frac{1}{2}$=1+2+…+n+$\frac{n}{2}$=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{n}{2}$=$\frac{{n}^{2}+2n}{2}$＜$\frac{{n}^{2}+2n+1}{2}$=$\frac{（n+1）^{2}}{2}$

点评 本题考查了基本不等式的性质，前n项和公式，以及放缩法，属于中档题．