Question

8．已知函数y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
（1）写出这个函数的振幅，初相和最小正周期；
（2）求y的最大值及此时x的值；
（3）写出这个函数的单调增区间；
（4）画出这个函数的图象，并说出它是怎样由y=sinx的图象变换而得到的？

Answer 1

分析 （1）由函数的解析式求得这个函数的振幅，初相和最小正周期．
（2）由条件利用正弦函数的最值，求得y的最大值及此时x的值．
（3）由条件利用正弦函数的单调性，求得这个函数的单调增区间．
（4）用五点法作函数在一个周期上的简图，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答 解：（1）对于函数y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），它的振幅为2，初相为$\frac{π}{3}$，周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）函数的最大值为2，此时，2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，即x=kπ+$\frac{π}{12}$，k∈z．
（3）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，故函数的增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈z．
（4）用五点法作出它在一个周期上的简图：

2x+$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
y	0	2	0	-2	0

把y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，可得y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的图象；
再把所得图象的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍，可得y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象；
再把所得图象的纵坐标变为原来的2倍，可得y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，正弦函数的单调性和最值，用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．