Question

【题目】已知椭圆的方程为，是椭圆上的一点，且在第一象限内，过且斜率等于-1的直线与椭圆交于另一点，点关于原点的对称点为．

（1）证明：直线的斜率为定值；

（2）求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）利用点差法即可求证直线BD的斜率为定值；

（2）设直线BD的方程，由S△ABD＝2S△OBD，将直线BD的方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式及基本不等式即可求得△ABD面积的最大值．

（1）设，，则，直线的斜率，

由，两式相减，，

由直线，所以，

直线的斜率为定值.

（2）连结，∵，关于原点对称，所以，

由（1）可知的斜率，设方程为.

∵在第三象限，∴且，

到的距离，

由，整理得：，

∴，，

∴

，

.

∴当时，取得最大值.