Question

【题目】在四棱锥中，底面为平行四边形， ， ， ， 点在底面内的射影在线段上，且， ，M在线段上，且．

（Ⅰ）证明： 平面；

（Ⅱ）在线段AD上确定一点F，使得平面平面PAB，并求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ．

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据余弦定理结合勾股定理可得，由平面，得。从而由线面垂直的判定定理可得结果；（Ⅱ）取是的中点，先证明平面，即可证明平面，然后根据棱锥的体积公式可得结果.

试题解析：（Ⅰ）证明：在中， ， ， ，由余弦定理得．　

所以，从而有.

由平面，得.

所以平面.

（Ⅱ）取是的中点，作交于点，则四边形为平行四边形，

，则.

在中， ， 分别是， 的中点，则，所以.

因为平面，所以平面.

又平面，所以平面平面.

.

V = .

【方法点晴】本题主要考查线面垂直、面面垂直及棱锥的体积公式，属于中档题.证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用直线和平面垂直的判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.