题目内容

11.已知函数f(x)=$\frac{lnx}{x}$,有下列四个命题:
①?x1,x2∈R+,$f(\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2})>\frac{{f({x_1})+f({x_2})}}{2}$;
②?x1,x2∈R+,$f(\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2})<\frac{{f({x_1})+f({x_2})}}{2}$;
③?x∈R+,?d∈R+,f′(x)<$\frac{{f({x+d})-f(x)}}{d}$;
④?x∈R+,?d∈R+,f′(x)>$\frac{{f({x+d})-f(x)}}{d}$.
其中的真命题是(  )
A.①③B.①④C.②③D.②④

分析 由已知中函数的解析式,利用导数法,分析函数的单调性和凸凹性,进而逐一分析四个结论的真假,可得答案.

解答 解:∵f(x)=$\frac{lnx}{x}$,
∴f′(x)=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$,
令g(x)=1-lnx,则g′(x)=$-\frac{1}{x}$,
当x>0时,g′(x)<0,则f′(x)为减函数,
当x∈(0,e)时,f′(x)>0,此时f(x)为凸函数,且为增函数;
当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,此时f(x)为凸函数,且为减函数;
故?x1,x2∈R+,$f(\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2})<\frac{{f({x_1})+f({x_2})}}{2}$,即②正确,①错误;
?x∈R+,?d∈R+,f′(x)>$\frac{{f({x+d})-f(x)}}{d}$,?x∈R+,?d∈R+,f′(x)<$\frac{{f({x+d})-f(x)}}{d}$,故③错误,④正确;
故真命题是②④,
故选:D.

点评 本题以命题的真假判断为载体考查了函数的单调性和凸凹性,难度中档.

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