Question

11．已知函数f（x）=x-$\frac{2}{x}$+1，直线l是曲线y=f（x）在点N（x₀，f（x₀ ））处的切线．
（1）若x₀=1，求直线l的方程；
（2）若x₀＜0，记直线l与x轴、y轴围成的三角形的面积为S，求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；
（2）求得导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，再令x=0，y=0，得到y，x轴的交点，可得三角形的面积S，再由导数，可得单调区间、极值，进而得到最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=x-$\frac{2}{x}$+1的导数为f′（x）=1+$\frac{2}{{x}^{2}}$，
则直线l的斜率为k=1+2=3，切点为（1，0），
即有直线l的方程为y-0=3（x-1），
即为y=3x-3；
（2）由f′（x）=1+$\frac{2}{{x}^{2}}$，可得
直线l的斜率为1+$\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}$，
切点为（x₀，x₀+1-$\frac{2}{{x}_{0}}$），
直线l的方程为y-（x₀+1-$\frac{2}{{x}_{0}}$）=（1+$\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}$）（x-x₀），
令x=0时，y=x₀+1-$\frac{2}{{x}_{0}}$-（1+$\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}$）x₀=1-$\frac{4}{{x}_{0}}$，
再令y=0，可得x=$\frac{4{x}_{0}-{{x}_{0}}^{2}}{2+{{x}_{0}}^{2}}$，
则S=$\frac{1}{2}$•|$\frac{4{x}_{0}-{{x}_{0}}^{2}}{2+{{x}_{0}}^{2}}$|•|1-$\frac{4}{{x}_{0}}$|=$\frac{1}{2}$•$\frac{（{x}_{0}-4）^{2}}{2+{{x}_{0}}^{2}}$，（x₀＜0），
由S′=$\frac{1}{2}$•$\frac{4（{x}_{0}-4）（2{x}_{0}+1）}{（2+{x}_{0}）^{2}}$，
当-$\frac{1}{2}$＜x₀＜0，S′＜0，S递减，当x₀＜-$\frac{1}{2}$，S′＞0，S递增，
即有x₀=-$\frac{1}{2}$，S取得极大值，也为最大值，
且为$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查三角形的面积的最值，正确求导是解题的关键．