Question

（本题满分15分）设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足”
（I）证明：函数是集合M中的元素；
（II）证明：函数具有下面的性质：对于任意，都存在，使得等式成立。 
（III）若集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意[m，n]，都存在，使得等式成立。试用这一性质证明：对集合M中的任一元素，方程只有一个实数根。

Answer 1

(Ⅰ) 见解析  (Ⅱ) 见解析 （Ⅲ）见解析

（I）证明：因为，又因为当x=0时，，所以方程有实数根0。
所以函数是集合M中的元素。       ………………4分
（II）证明：，
[m，n] 。
又，。
也就是；
………………9分
（III）假设方程f（x）-x=0存在两个实数根不妨设，根据题意存在数
使得等式成立。
因为
与已知矛盾，所以方程只有一个实数根。……15分