Question

8．已知定义在R上的函数f（x）满足①f（2-x）=f（x）；②f（x+2）=f（x-2）；③x₁，x₂∈[1，3]时，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，则f（2014），f（2015），f（2016）大小关系为（　　）

• A． f（2014）＞f（2015）＞f（2016）
• B． f（2016）＞f（2014）＞f（2015）
• C． f（2016）=f（2014）＞f（2015）
• D． f（2014）＞f（2015）=f（2016）

Answer 1

分析 根据已知可得函数 f （x）的图象关于直线x=1对称，周期为4，且在[1，3]上为减函数，进而可比较f（2014），f（2015），f（2016）的大小

解答 解：∵函数 f （x）满足：
①f（2-x）=f（x），故函数的图象关于直线x=1对称；
②f（x+2）=f（x-2），故函数的周期为4；
③x₁，x₂∈[1，3]时，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，故函数在[1，3]上为减函数；
故f（2014）=f（2），
f（2015）=f（3），
f（2016）=f（0）=f（2），
故f （2016）=f （2014）＞f （2015），
故选：C．

点评 本题考查的知识点是函数的对称性，函数的周期性，函数的单调性，从已知的条件中分析出函数的性质，是解答的关键．