Question

20．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，若AD=PA=a，AB=$\sqrt{2}$a．
（1）在PC上是否存在一点Q，使得AQ∥平面MND？若存在，求出该点的位置，若不存在，请说明理由；
（2）求二面角N-MD-C大小．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面DMN的法向量，设在PC上存在一点Q（x₁，y₁，z₁），且$\overrightarrow{PQ}=t\overrightarrow{PC}$，使得AQ∥平面MND，求出$\overrightarrow{AQ}$，由$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AQ}$，能求出Q点的位置．
（2）求出平面DMN的法向量和平面MDC的法向量，由此利用向量法能求出二面角N-MD-C大小．

解答 解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得D（a，0，0），P（0，0，a），M（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0），C（a，$\sqrt{2}a$，0），N（$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，$\frac{a}{2}$），
∴$\overrightarrow{DM}$=（-a，$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，0），$\overrightarrow{DN}$=（-$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，$\frac{a}{2}$），
设平面DMN的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=-ax+\frac{\sqrt{2}}{2}ay=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DN}=-\frac{a}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}ay+\frac{a}{2}z=0}\end{array}\right.$，
取y=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{2}$，-1），
设在PC上存在一点Q（x₁，y₁，z₁），且$\overrightarrow{PQ}=t\overrightarrow{PC}$，使得AQ∥平面MND，
则（x₁，y₁，z₁-a）=（ta，$\sqrt{2}ta$，-ta），0≤t≤1，∴Q（ta，$\sqrt{2}ta$，a-ta），
$\overrightarrow{AQ}$=（ta，$\sqrt{2}ta$，a-ta），
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AQ}$=ta+2ta-a+ta=0，解得t=$\frac{1}{4}$，
∴在PC上存在一点Q，使得AQ∥平面MND，且$\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{4}\overrightarrow{PC}$，点Q（$\frac{1}{4}a$，$\frac{\sqrt{2}}{4}a$，$\frac{3}{4}$a）．
（2）平面DMN的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{2}$，-1），平面MDC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角N-MD-C的平面角的大小为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-1}{\sqrt{4}}$|=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°，即二面角N-MD-C大小为60°．

点评 本题考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．