Question

9．已知函数f（x）=x²（x+a）-2（a∈R）在x=2处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间，并指出其单调性；
（3）求函数f（x）在[-1，3]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导函数f′（x）=3x²+2ax，由x=2处取得极值解a．
（Ⅱ）利用导函数的符号，求出表达式的解集，即函数f（x）的单调递增区间，单调递减区间．
（Ⅲ）当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况列表，求解函数的最值．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由f（x）=x³+ax²-2得：f′（x）=3x²+2ax，…（2分）
依题意，得f′（2）=12+4a=0，…（3分）
解得：a=-3．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知f′（x）=3x²-6x．
故由f′（x）=3x²-6x＞0⇒x＜0或x＞2．…（6分）
由f′（x）=3x²-6x＜0⇒0＜x＜2，…（8分）
即函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0）和（2，+∞），单调递减区间为（0，2）．…（9分）
（Ⅲ）当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-6	递增	-2	递减	-6	递增	-2

…（12分）
由上表可知，当x=0或x=3时，函数取得最大值-2．…（13分）

点评 本题考查函数的对数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．