题目内容

18．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比0＜q＜1，设P=$\frac{{a}_{3}+{a}_{9}}{2}$，Q=$\sqrt{{a}_{5}{a}_{7}}$，则a3，a9，P与Q的大小关系是（　　）
A．a3＞P＞Q＞a9B．a3＞Q＞P＞a9C．a9＞P＞a3＞QD．P＞Q＞a3＞a9

分析 等比数列{an}的各项均为正数，公比0＜q＜1，$Q=\sqrt{{a_5}•{a_7}}$，可得$Q=\sqrt{{a_5}•{a_7}}$=$\sqrt{{a}_{3}{a}_{9}}$＜$\frac{{a}_{3}+{a}_{9}}{2}$=P，又各项均为正数，公比0＜q＜1，可得a9＜P＜a3，a9＜Q＜a3．即可得出．

解答 解：等比数列{an}的各项均为正数，公比0＜q＜1，$Q=\sqrt{{a_5}•{a_7}}$，
则$Q=\sqrt{{a_5}•{a_7}}$=$\sqrt{{a}_{3}{a}_{9}}$＜$\frac{{a}_{3}+{a}_{9}}{2}$=P，
又各项均为正数，公比0＜q＜1，
∴a9＜$P=\frac{{{a_3}+{a_9}}}{2}$＜a3，
则a9＜$Q=\sqrt{{a_5}•{a_7}}$=$\sqrt{{a}_{3}{a}_{9}}$＜a3．
∴a9＜Q＜P＜a3．
故选：A．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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其中正确的命题为①③④（填上所有正确命题的序号）．
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分组0.5～20.520.5～40.540.5～60.560.5～80.580.5～100.5
频数3612
频率a0.3

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