Question

1．已知点P为△ABC所在平面内一点，且满足$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）（λ∈R），则直线AP必经过△ABC的（　　）

• A． 重心
• B． 内心
• C． 垂心
• D． 外心

Answer 1

分析 两边同乘以向量$\overrightarrow{BC}$，利用向量的数量积运算可求得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$=0，从而得到结论．

解答 解：∵$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$），
两边同乘以向量$\overrightarrow{BC}$，得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）•$\overrightarrow{BC}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）
=λ（$\frac{\left|\overrightarrow{AB}\right|•\left|\overrightarrow{BC}\right|•-cosB}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\left|\overrightarrow{AC}\right|•\left|\overrightarrow{BC}\right|•cosC}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$）=λ（-|$\overrightarrow{BC}$|+|$\overrightarrow{BC}$|）=0．
∴$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
即点P在在BC边的高线上，
∴P的轨迹过△ABC的垂心．
故选：C

点评 本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义，属中档题．