题目内容
【题目】已知函数,其中
是自然对数的底数.
(1)证明是
上的偶函数
(2)若关于的不等式
在
上恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)由
,根据函数奇偶性的定义即可得
是
上的偶函数;(2)利用参数分离法,将不等式
,在
上恒成立,进行转化为
对任意
恒成立 ,利用函数的单调性求最值即可求从实数
的取值范围.
试题解析:(1)因为对任意,都有
,
所以是R上的偶函数.
(2)由条件知在
上恒成立,
令,则
对任意 ,
所以对任意
成立 ,
由对勾函数的单调性知 ,
所以 ,
因此,实数的取值范围是
.
【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性、单调性以及不等式恒成立问题,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:① 分离参数恒成立(
可)或
恒成立(
即可);② 数形结合(
图象在
上方即可);③ 讨论最值
或
恒成立;④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得实数
的取值范围.
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练习册系列答案
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