题目内容

【题目】如图所示,我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD上划出一个三角形地块APQ种植草坪,两个三角形地块PAB与QAD种植花卉,一个三角形地块CPQ设计成水景喷泉,四周铺设小路供居民平时休闲散步,点P在边BC上,点Q在边CD上,记∠PAB=a.
(1)当∠PAQ= 时,求花卉种植面积S关于a的函数表达式,并求S的最小值;
(2)考虑到小区道路的整体规划,要求PB+DQ=PQ,请探究∠PAQ是否为定值,若是,求出此定值,若不是,请说明理由.

【答案】
(1)解:∵边长为1百米的正方形ABCD中,∠PAB=a,∠PAQ=

∴PB=100tanα,DQ=100tan( ﹣α﹣ )=100tan( ﹣α),

∴S花卉种植面积=SABP+SADQ= = 100×100tanα+ 100tan( ﹣α)

= = ,其中α∈[0, ],

∴当sin(2α+ )=1时,即θ= 时,S取得最小值为5000(2﹣ ).


(2)解:设∠PAB=α,∠QAD=β,CP=x,CQ=y,则BP=100﹣x,DQ=100﹣y,

在△ABP中,tanα= ,在△ADQ中,tanβ=

∴tan(α+β)= =

∵PB+DQ=PQ,

∴100﹣x+100﹣y= ,整理可得:x+y=100+

∴tan(α+β)= = =1,

∴α+β=

∴∠PAQ是定值,且∠PAQ=


【解析】(1)由已知利用三角函数的定义可求PB=100tanα,DQ=100tan( ﹣α),利用三角形面积公式及三角函数恒等变换的应用化简可求S花卉种植面积= ,其中α∈[0, ],利用正弦函数的性质可求最小值.(2)设∠PAB=α,∠QAD=β,CP=x,CQ=y,则可求BP,DQ,利用两角和的正切函数公式可求tan(α+β)= ,由题意PB+DQ=PQ,可求:x+y=100+ ,即可得解tan(α+β)=1,可求α+β= ,即可得解.
【考点精析】掌握正弦定理的定义是解答本题的根本,需要知道正弦定理:

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