题目内容
【题目】已知向量 
=（cos 
，sin ）， 
=（cos 
，﹣sin ），函数f（x）= ﹣m| + |+1，x∈[﹣ 
， 
]，m∈R．
（1）当m=0时，求f（ 
）的值；
（2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；
（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）+ 
m2 ， x∈[﹣ ， ]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】
（1）解： 
=（cos 
，sin ）（cos 
，﹣sin ）=cos cos ﹣sin sin =cos（ + ）=cos2x，
当m=0时，f（x）= +1=cos2x+1，
则f（ 
）=cos（2× ）+1=cos 
+1= 
；
（2）解：∵x∈[﹣ ， 
]，
∴| + |= 
= 
=2cosx，
则f（x）= ﹣m| 
+ |+1=cos2x﹣2mcosx+1=2cos2x﹣2mcosx，
令t=cosx，则 
≤t≤1，
则y=2t2﹣2mt，对称轴t= 
，
①当 ＜ ，即m＜1时，
当t= 时，函数取得最小值此时最小值y= ﹣m=﹣1，得m= 
（舍），
②当 ≤ ≤1，即m＜1时，
当t= 时，函数取得最小值此时最小值y=﹣ 
=﹣1，得m= 
，
③当 ＞1，即m＞2时，
当t=1时，函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1，得m= （舍），
综上若f（x）的最小值为﹣1，则实数m= ．
（3）解：令g（x）=2cos2x﹣2mcosx+ 
m2=0，得cosx= 
或 
，
∴方程cosx= 或 在x∈[﹣ ， ]上有四个不同的实根，
则 
，得 
，则 
≤m＜ 
，
即实数m的取值范围是 ≤m＜ ．
【解析】（1）利用向量数量积的公式化简函数f（x）即可．（2）求出函数f（x）的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．（3）由g（x）=0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．
