题目内容
13.设函数f(x)=|x-$\frac{9}{a}$|+|x+2a|(a≠0)(1)证明:f(x)≥6$\sqrt{2}$;
(2)设a<0,若f(4)<9,求a的取值范围.
分析 (1)由条件利用绝对值三角不等式,基本不等式证得f(x)≥6$\sqrt{2}$.
(2)由题意可得|2a+4|<5+$\frac{9}{a}$,分类讨论去掉绝对值,分别求得a的范围,综合可得结论.
解答 解:(1)证明:∵函数f(x)=|x-$\frac{9}{a}$|+|x+2a|≥|(x-$\frac{9}{a}$)-(x+2a)|=|$\frac{9}{a}$+2a|=|$\frac{9}{a}$|+|2a|≥2$\sqrt{\frac{9}{|a|}•2|a|}$=6$\sqrt{2}$,
当且仅当|$\frac{9}{a}$|=2|a|,即a=±$\frac{3\sqrt{2}}{2}$时,取等号,∴f(x)≥6$\sqrt{2}$成立.
(2)∵a<0,若f(4)=4-$\frac{9}{a}$+|4+2a|<9,则|2a+4|<5+$\frac{9}{a}$.
当a≤-2时,-2a-4<5+$\frac{9}{a}$,即a2+9a+9<0,求得-3≤a≤$\frac{3}{2}$,综合可得-3≤a≤-2.
当-2<a<0 时,2a+4<5+$\frac{9}{a}$,即2a2-a-9<0,求得 $\frac{1-\sqrt{73}}{4}$<a<$\frac{1+\sqrt{73}}{4}$,综合可得$\frac{1-\sqrt{73}}{4}$<a<0.
综上可得,a的取值范围是[-3,-2]∪($\frac{1-\sqrt{73}}{4}$,0).
点评 本题主要考查绝对值三角不等式,基本不等式,绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于基础题.
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