Question

8．求下列函数的周期，最小值及对应的x值的集合，单调区间及对称中心．
（1）y=-3sin2x+1；
（2）y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$），x∈[-2π，2π]．

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的周期性、单调性、最值和对称中心，取得所给函数的周期，最小值及对应的x值的集合，单调区间及对称中心．

解答 解：（1）对于y=-3sin2x+1，它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
 最小值为-3+1=-2，此时，2x=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x取值的集合为{x|x=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z}．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，可得函数的减区间为[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z；
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{4}$，可得函数的增区间为[kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$]，k∈Z．
令2x=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$，可得函数的图象的对称中心为（ $\frac{kπ}{2}$，0），k∈Z．
（2）y=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$），x∈[-2π，2π]，它的最小正周期为$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π．
最小值为-1，此时，$\frac{1}{2}$x=2kπ-$\frac{π}{2}$，即x=4kπ-π，k∈Z；再结合x∈[-2π，2π]，可得x取值的集合为{-π}．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得4kπ-$\frac{4π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{2π}{3}$，可得函数的增区间为[4kπ-$\frac{4π}{3}$，4kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；
再结合x∈[-2π，2π]，可得增区间为[-$\frac{4π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得4kπ+$\frac{2π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{8π}{3}$，可得函数的减区间为[4kπ+$\frac{2π}{3}$，4kπ+$\frac{8π}{3}$]，k∈Z；
再结合x∈[-2π，2π]，可得增区间为[$\frac{2π}{3}$，2π]．
令 $\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$=kπ，求得x=2kπ-$\frac{π}{3}$，可得函数的图象的对称中心为（2kπ-$\frac{π}{3}$，0），k∈Z；
再结合x∈[-2π，2π]，可得函数的图象的对称中心为（-$\frac{π}{3}$，0）、（$\frac{5π}{3}$，0）．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、最值和对称中心，体现了转化的数学思想，属于中档题．