题目内容
【题目】如图,边长为4的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直,,分别为,的中点.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】
(I)根据题意,利用线面垂直、面面垂直的判定定理与面面垂直的性质定理证明;
(Ⅱ)根据题意,分别以,,所在直线为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,用向量法求解.
(Ⅰ)证明:设直线,交于点,
∵,,
∴.
∴,则.
故,∴.
∵为的中点,为正三角形,
∴.
又平面平面,平面平面,
∴平面,
∴,
∵,
∴平面,
又平面,
∴平面平面.
(Ⅱ)设的中点为,连接.∵平面平面,∴,,由(Ⅰ)知,.
以点为原点,分别以,,所在直线为,,轴,建立空间直角坐标系如图所示,
则,,,,.
设平面的法向量为,又,,
∴,得取,得.
设直线与平面所成角为,,
∴,
故直线与平面所成角的正弦值为.
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