Question

3．如图，强度分别为8，1的两个光源A，B间的距离为3，点P在连接两光源的线段AB上，且距离光源A为x．
（1）求点P受光源A，B的总照度与x的函数关系式；
（2）点P在何处时，受光源A，B的总照度最小；
（注：照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）

Answer 1

分析 （1）由已知可得：PA=x，PB=3-x，设点P受光源A，B的总照度为f（x），根据两个光源A，B的强度分别为8，1照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，可得点P受光源A，B的总照度与x的函数关系式；
（2）根据（1）中函数解析式，利用导数法，求出函数的最小值，进而可得答案．

解答 解：（1）∵点P在连接两光源的线段AB上，且距离光源A为x．
∴PA=x，PB=3-x，
设点P受光源A，B的总照度为f（x），
则f（x）=$\frac{8k}{{x}^{2}}+\frac{k}{（3-x）^{2}}$，x∈（0，3）；
（2）由（1）得f（x）=$\frac{8k}{{x}^{2}}+\frac{k}{（3-x）^{2}}$，x∈（0，3），
∴f′（x）=$\frac{-16k}{{x}^{3}}$+$\frac{2k}{{（3-x）}^{3}}$=$\frac{18k（x-2）[（x-3）^{2}+3]}{{x}^{3}{（3-x）}^{3}}$，
当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈（2，3）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
故当x=2时，f（x）取最小值，
即点P距离光源A的距离为2时，受光源A，B的总照度最小；

点评 本题考查的知识点是函数的应用，导数在求函数最值时的应用，最值及其几何意义，是函数与导数的综合应用，难度中档．