Question

5．如图，已知∠DAE=10°，∠CAE=70°，∠DCA=60°，∠DCE=20°，则∠DEA=20°．

Answer 1

分析 以BC为边向左作等边△BCF，连接EF，以EF为边向下作等边△EFG，连接AG，AF，FD，由已知条件推导出△CDF≌△BDF，△ABF≌△ECA，△AFG≌△DFE，从而能求出∠DEA=∠AEF-∠DEF=50°-30°=20°．

解答 解：以BC为边向左作等边△BCF，连接EF，以EF为边向下作等边△EFG，连接AG，AF，FD，
则CF=BC=BF，
∠CBF=∠BFC=∠BCF=60°，
EF=EG=FG，
∠EFG=∠FGE=∠FEG=60°，
∵∠DAE=10°，∠EAB=70°，
∴∠BAC=∠DAE+∠EAB=10+70=80°，
∵∠ABC=∠DBA+∠DBE，∠DBA=60°，∠DBC=20°，
∴∠ABC=80°，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠ACB=20°，
∠BAC=∠ABC=80°，∴AC=BC，
∠ACB=∠DBC=20°，∴CD=BD，
∵DF=DF，△CDF≌△BDF，
∴∠CFD=∠BFD=$\frac{1}{2}$∠BFC=30°，
∵∠ACF=∠BCF-∠ACB=60°-20°=40°，
AC=CF，
∴∠AFC=∠FAC，
∵∠AFC+∠FAC+∠ACF=180°，∴∠FAC=∠AFC=70°，
∵∠ADF=∠ACF+∠CFD=30°+40°=70°，
∴∠FAC=∠ADF=70°，∴AF=DF，
∵∠ADF+∠FAC+∠AFD=180°，∠AFD=40°，
∵∠AFB=∠AFC-∠BFC=70°-60°=10°，∠AFB=∠DAE=10°，
∵∠ABF=∠ABC-∠CBF=80°-60°=20°，∴∠ABF=∠ACB=20°，
∵BF=AC，∴△ABF≌△ECA，∴AF=AE，∴∠AFE=∠AEF，
∵AG=AG，FG=EG，△AFG≌△AEG，∴∠AGF=∠AGE=$\frac{1}{2}$∠FGE=30°，
∵∠FAE=∠FAC+∠DAE=10°+70°=80°，∠AFE+∠AEF+∠FAE=180°，
∴∠AFE=∠AEF=50°，
∵∠DFE=∠AFE-∠AFD=50°-40°=10°，
∠AFG=∠EFG-∠AFE=60°-50°=10°，
∴∠DFE=∠AFG=10°，
∵EF=FG，AF=DF，
∴△AFG≌△DFE，∴∠AGF=∠DEF，∴∠DEF=30°，
∵∠DEA=∠AEF-∠DEF=50°-30°=20°，
∴∠DEA=20°．
故答案为：20°．

点评 本题考查角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意全等三角形的判定定理和性质定理的合理运用．