Question

20．设n∈N且n≥15，A，B都是{1，2，3，…，n}真子集，A∩B=∅，且A∪B={1，2，3，…，n}．证明：A或者B中必有两个不同数的和是完全平方数．

Answer 1

分析 运用反证法，假设A、B两组中都没有不同的两个数的和是完全平方数，逐步讨论，得出与假设相矛盾的结果．

解答 证明：（反证法）假设A、B中都没有不同的两个数的和是完全平方数．
不妨设1在A中，且n≥15，
由于1+3=2²，1+15=4²，即3，15都不在A中，
所以3，15都在B中，
又因为3+6=3²，即6必不在B中，
即6必须在A，
而6+10=4²，即10必须在B中，
这时，B中已有两个数10，15的和为完全平方数了，即10+15=5²，
所以，假设不成立，
故在A或B中，必有两个不相同的数的和为完全平方数．

点评 本题主要考查了运用反证法证明集合问题，通过假设反复计算和推理得出A、B两集合中元素的归属，直到得出矛盾，属于中档题．