Question

17．如图：已知△ABC中，∠BAD=∠C，AB=4，BD=2，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{m}$．
（1）试用$\overrightarrow{m}$表示$\overrightarrow{DC}$；
（2）过点D作DE∥AB交AC于点E．若S_△ABD=3，求S_△CDE．

Answer 1

分析 （1）由已知得△ABD∽△CBA，从而得到CD=6，由此能用$\overrightarrow{m}$表示$\overrightarrow{DC}$．
（2）由S_△ABD=3，解得sin∠ABD=$\frac{3}{4}$，过点D作DE∥AB交AC于点E，则sin∠EDC=sin∠ABD=$\frac{3}{4}$，DE=$\frac{AB×CD}{BC}$=3，由此能求出S_△CDE．

解答 解：（1）在△ABD和△CBA中，
∠B=∠B，∠BAD=∠C，
∴△ABD∽△CBA，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{AB}$，
∵AB=4，BD=2，∴$\frac{4}{2}=\frac{2+CD}{4}$，解得CD=6，
∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{m}$，∴$\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{m}$．
（2）∵S_△ABD=3，∴$\frac{1}{2}×AB×BD$×sin∠ABD=$\frac{1}{2}×4×2×sin∠ABD$=3，
解得sin∠ABD=$\frac{3}{4}$，
过点D作DE∥AB交AC于点E，则sin∠EDC=sin∠ABD=$\frac{3}{4}$，
$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{BC}$，∴DE=$\frac{AB×CD}{BC}$=$\frac{4×6}{8}$=3，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}×DE×DC×sin∠EDC$=$\frac{1}{2}×3×6×\frac{3}{4}$=$\frac{27}{2}$．

点评 本题考查线段的向量表示，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形面积公式的合理运用．