Question

13．如图，已知直角三角形周长为48cm，一锐角交平分线分对边为3：5两部分．
（1）求直角三角形的三边长；
（2）求两直角边在斜边上的射影的长．

Answer 1

分析 （1）设CD=3x，BD=5x，则BC=8x，过D作DE⊥AB，由Rt△ADC≌Rt△ADE知，DE=3x，BE=4x，由此利用勾股定理能求出三边长．
（2）作CF⊥AB于F点，则AC²=AF•AB，由此能求出两直角边在斜边上的射影长．

解答 解：（1）如图，设CD=3x，BD=5x，则BC=8x，
过D作DE⊥AB，
由Rt△ADC≌Rt△ADE可知，DE=3x，BE=4x，
∴AE+AC+12x=48，
又AE=AC，∴AC=24-6x，AB=24-2x，
∴（24-6x）²+（8x）²=（24-2x）²，
解得：x₁=0（舍去），x₂=2，
∴AB=20，AC=12，BC=16，
∴三边长分别为：20 cm，12 cm，16 cm．
（2）作CF⊥AB于F点，∴AC²=AF•AB，
∴AF=$\frac{A{C}^{2}}{AB}$=$\frac{1{2}^{2}}{20}$=$\frac{36}{5}$ （cm），
同理：BF=$\frac{B{C}^{2}}{AB}$=$\frac{1{6}^{2}}{20}$=$\frac{64}{5}$ （cm）．
∴两直角边在斜边上的射影长分别为$\frac{36}{5}$cm，$\frac{64}{5}$ cm．

点评 本题考查直角三角形三边长的求法，考查两直角边在斜边上的射影长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意勾股定理的合理运用．