题目内容

设数列的前项和为,已知(n∈N*).
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求证:当x>0时,
(Ⅲ)令,数列的前项和为.利用(2)的结论证明:当n∈N*且n≥2时,.

(Ⅰ);(Ⅱ)参考解析;(Ⅲ)参考解析

解析试题分析:(Ⅰ)由数列的求和与通项的等式,递推一个等式两式相减可得到一个的一个一节递推式).将等式的两边同除以,即可得到是一个等差数列,再通过求出的通项,即可得到的通项式.最后检验一下n=1时即可.
(Ⅱ)不等式的证明通过转化为两函数的值在大于零恒成立即可.通过求导可得导函数恒大于零.所以原函数在上递增.函数的最小值是大于零.
(Ⅲ)由(Ⅰ)得到的数列可得的通项.由于通项中存在的形式.所以奇偶项的符号不一样.通过整理转化为.结合(Ⅱ)得到的结论令.可得.这样就把分数和的形式改为对数的和的形式即可.
试题解析:(1)由,得)         2分
两式相减,得,即
于是,所以数列是公差为1的等差数列    ..       .3分
,所以.
所以,故.               .5分
(2)令,则,7分
时单调递增,,即当时, .9分
(3)因为,则当n≥2时,

.                    11分
下面证
,由(2)可得,所以
, ,
以上个式相加,即有
              14分
考点:1.数列的通项.构造求通项的思想.3.函数的求导及单调性.4.数列、函数不等式的应用.

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