Question

【题目】已知函数且.

（Ⅰ）若函数在处取得极值，求实数的值.

（Ⅱ）若函数不存在零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（I）；

（II）

【解析】

（Ⅰ）求函数的导数，利用函数在处取得极值，则即，再检验函数在时，取得极小值，可得实数a的值；

（Ⅱ）若函数不存在零点，则函数的值恒大于或小于0，分类讨论a，利用函数的单调性，求得函数的最值，列出不等式，可得满足条件的实数a的取值范围．

解：（I）函数且，

其的定义域为R，

，

因为函数在处取得极值，

所以即，

经检验，当时，取得极小值，

故；

（Ⅱ），由于，

（i）当时，恒成立，

则是增函数，

且当时，，

当时，

解得，

取，则 ，

所以函数存在零点，

（ii）当时，由=0，得，

在上，，单调递减，

在上，，单调递增，

所以时，取得最小值，

函数不存在零点，等价于，

即，

解得，

综上所述：所求的实数a的取值范围是.