题目内容
抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,O为坐标原点;当抛物线上点N的纵坐标为1时,|NF|=2,已知直线l经过抛物线C的焦点F,且与抛物线C交于A,B两点
(1)求抛物线C的方程;
(2)若△AOB的面积为4,求直线l的方程.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若△AOB的面积为4,求直线l的方程.
(1)由已知得焦点F(0,
),准线方程为y=-
,
由抛物线的定义及点N的纵坐标为1,得|NF|=
+yN=
+1
又|NF|=2,
∴
+1=2∴p=2,
∴抛物线的方程为x2=4y(4分)
(2)依题意设直线l的方程为:y=kx+1(k必存在)
⇒x2-4kx-4=0,…(6分)
则△=16k2+16>0,
设直线l与抛物线的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),
则有x1+x2=4k,x1x2=-4,…(8分)
∴|AB|=
|x1-x2|=
•
=4(1+k2)…(10分)
∵O到AB的距离d=
,
∴S△AOB=
|AB|d=2
=4,
∴k=±
,
∴直线方程为y=±
x+1…..(12分)
p |
2 |
p |
2 |
由抛物线的定义及点N的纵坐标为1,得|NF|=
p |
2 |
p |
2 |
又|NF|=2,
∴
p |
2 |
∴抛物线的方程为x2=4y(4分)
(2)依题意设直线l的方程为:y=kx+1(k必存在)
|
则△=16k2+16>0,
设直线l与抛物线的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),
则有x1+x2=4k,x1x2=-4,…(8分)
∴|AB|=
1+k2 |
1+k2 |
(x1+x2)2-4x1x2 |
∵O到AB的距离d=
1 | ||
|
∴S△AOB=
1 |
2 |
k2+1 |
∴k=±
3 |
∴直线方程为y=±
3 |
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