题目内容

抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,O为坐标原点;当抛物线上点N的纵坐标为1时,|NF|=2,已知直线l经过抛物线C的焦点F,且与抛物线C交于A,B两点
(1)求抛物线C的方程;
(2)若△AOB的面积为4,求直线l的方程.
(1)由已知得焦点F(0,
p
2
)
,准线方程为y=-
p
2

由抛物线的定义及点N的纵坐标为1,得|NF|=
p
2
+yN=
p
2
+1

又|NF|=2,
p
2
+1=2∴p=2

∴抛物线的方程为x2=4y(4分)
(2)依题意设直线l的方程为:y=kx+1(k必存在)
y=kx+1
x2=4y
x2-4kx-4=0
,…(6分)
则△=16k2+16>0,
设直线l与抛物线的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),
则有x1+x2=4k,x1x2=-4,…(8分)
|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=4(1+k2)
…(10分)
∵O到AB的距离d=
1
k2+1

S△AOB=
1
2
|AB|d=2
k2+1
=4

k=±
3

∴直线方程为y=±
3
x+1
…..(12分)
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