Question

已知奇函数f（x）（x∈R），满足f（x+4）=f（x）+f（2），且f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）=（　　）

A、0

B、-1

C、-2

D、2

Answer 1

分析：由f（x+4）=f（x）+f（2），且函数f（x）为奇函数，我们令x=-2，易得f（2）=0，进而得到函数是周期为4的周期函数，结合f（1）=2，我们易得f（4n+1）+f（4n+2）+f（4n+3）+4（4n+4）=0（n∈N*），然后利用分组求和法即可得到答案．

解答：解：∵f（x+4）=f（x）+f（2），
令x=-2，则f（-2+4）=f（-2）+f（2），
即f（2）=f（-2）+f（2），
∴f（-2）=0
又∵f（x）为奇函数
∴f（2）=0，即函数满足f（x+4）=f（x）
即函数是以4为周期的周期函数
又∵f（1）=2
∴f（4n+1）+f（4n+2）+f（4n+3）+4（4n+4）=0（n∈N*）
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）
=f（2009）+f（2010）=2+0=2
故选D

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，奇函数的性质，函数的周期性，数列的分组求和法，其中利用抽象函数满足f（x+4）=f（x）+f（2），结合奇函数的性质，得到函数为周期函数是解答本题的关键．