题目内容
【题目】已知函数
(1)证明:当时,
;
(2)若当时,
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)先求导数,再求导函数零点,列表分析函数单调性变化规律,确定函数最小值为,即证得结论(2)先讨论分母正负,化分式为整式,再求
导数,由于
,所以
必须为增函数,根据单调性讨论可得实数
的取值范围.
试题解析:(1)当时,
,
则,令
,解得
当时,
,∴
在
上是减函数;
当时,
,∴
在
上是增函数;
故在
处取得最小值
,即
.
(2)由已知,∴
.
(i)当时,若
,则
,此时
,不符合题设条件;
(ii)当时,若
,
令,则
而.
①当时,由(1)知,
,即
,
它等价于,
∴
此时在
上是增函数,
∴,即
.
②当时,由(1)知,
,∴
∴
当时,
,此时
在
上是减函数,
∴,即
,不符合题设条件.
综上: .
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