Question

15．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，$\frac{sinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}cosB}{b}$．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）求sinAcosC的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理及已知可解得tanB=$\sqrt{3}$，结合范围B∈（0，π），即可求得B的值．
（Ⅱ）利用三角形内角和定理及两角和的余弦函数公式化简可得sinAcosC=-$\frac{1}{2}$sin（2A+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，结合范围0$＜A＜\frac{2π}{3}$，利用正弦函数的图象和性质即可得解取值范围．

解答 （本题满分为10分）
解：（Ⅰ）∵由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，$\frac{sinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}cosB}{b}$．
∴sinB=$\sqrt{3}$cosB，可得tanB=$\sqrt{3}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$…4分
（Ⅱ）∵sinAcosC=-sinAcos（A+B）=-sinAcos（A+$\frac{π}{3}$），
∴-sinAcos（A+$\frac{π}{3}$）=-sinA（$\frac{1}{2}$cosA-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA）=-$\frac{1}{2}$sin（2A+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵0$＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}$＜2A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{3}$，
∴sinAcosC∈[$\frac{-2+\sqrt{3}}{4}$，$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$]…10分

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，正弦函数的图象和性质及两角和的余弦函数公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．