Question

3．在△ABC中，A=2B，且3sinC=5sinB，则cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知及两角和正弦函数公式，倍角公式可得sinC=2sinBcos²B+（2cos²B-1）sinB，结合已知可得6cos²B+3（2cos²B-1）=5，即可解得cosB的值．

解答 解：∵A=2B，A+B+C=π，可得：C=π-3B，
∴sinC=sin3B=sin（2B+B）=sin2BcosB+cos2BsinB=2sinBcos²B+（2cos²B-1）sinB，
∵3sinC=5sinB，
∴6sinBcos²B+3（2cos²B-1）sinB=5sinB，
∵sinB≠0，
∴解得：6cos²B+3（2cos²B-1）=5，解得：cos²B=$\frac{2}{3}$，
∵A=2B，B为锐角，
∴cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了一元二次方程的解法，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．