题目内容

4.如果关于x的方程x+$\frac{a}{{x}^{2}}$=3有两个实数解,那么实数a的值是4.

分析 利用函数的导数,求出函数的极值点,判断函数的单调性,然后求解a的值.

解答 解:方程x+$\frac{a}{{x}^{2}}$=3,化为:a=3x2-x3,x≠0.
令y=3x2-x3,可得y′=6x-3x2
则6x-3x2=0,解得x=2或x=0(舍去).
x<0,y′<0,y是减函数,
2>x>0时,y′>0,y是增函数,
x>2时,y′<0,y是减函数,
x=2函数取得极大值.y=3x2-x3的极值为:4.    
可得a=4.
故答案为:4.

点评 本题考查函数的单调性的判断,极值的求法考查计算能力,分析问题解决问题的能力.转化思想的应用.

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