Question

19．已知点P是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0，xy≠0）上的动点，F₁（-c，0）、F₂（c，0）为椭圆对左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F₁PF₂的角平分线上的一点，且F₁M⊥MP，则|OM|的取值范围是（0，c）．

Answer 1

分析 如图所示．M是∠F₁PF₂的角平分线上的一点，且F₁M⊥MP，可得点M是底边F₁N的中点．又点O是线段F₁F₂的中点，|OM|=$\frac{1}{2}{|F}_{2}N|$．|PF₁|=|PN|，可得∠F₂NM＞∠F₂F₁N，可得|F₁F₂|＞|F₂N|，即可得出．

解答 解：如图所示．
∵M是∠F₁PF₂的角平分线上的一点，且F₁M⊥MP，
∴点M是底边F₁N的中点，
又点O是线段F₁F₂的中点，
∴|OM|=$\frac{1}{2}{|F}_{2}N|$，
∵|PF₁|=|PN|，
∴∠F₂NM＞∠F₂F₁N，
∴|F₁F₂|＞|F₂N|，
∴0＜|OM|$＜\frac{1}{2}×2c$=c．
∴则|OM|的取值范围是（0，c）．
故答案为：（0，c）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．