题目内容
【题目】对于定义在区间
的函数
，定义：
（
），
（），其中，
表示函数在
上的最小值，
表示函数在上的最大值.
（1）若
，
，试写出
、
的表达式；
（2）设
且
，函数
，
，如果与恰好为同一函数，求
的取值范围.
（3）若存在最小正整数
，使得
对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数
，
，试判断是否为
上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由.
【答案】（1）
，
，
，；（2）
；（3）是，
，理由见解析.
【解析】
（1）根据
的最大值为
，可得
、
的表达式。
（2）若与
恰好为同一函数，只须
在
上是单调递减，讨论
的取值由复合函数的单调性即可求解。
（3）根据函数
在
上的值域，写出、的解析式，再由
求出
的范围得到答案。
（1）由题意可得：
，
（2）若 与恰好为同一函数，只须在上是单调递减，
当
时，令
，则
由，则
，对称轴
，根据复合函数的单调性显然在为单调递减，故成立。
当
时，令，由，则
，只需
化简得
，解得
综上所述的取值范围为
（3）
当
时，
，
，
；
当
时，
，
，
；
当
时，
，
，
综上所述：
故是
上的“阶收缩函数”， 且小正整数
练习册系列答案
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【题目】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
