Question

【题目】已知向量 =（sin（A﹣B）， ， =（1，2sinB），且 =﹣sin2C，其中A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角． （Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若 ，且S△ABC= ，求边c的长．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵向量 =（sin（A﹣B）， ）， =（1，2sinB）， ∴ =sin（A﹣B）+2 sinB=sin（A﹣B）+2cosAsinB=sin（A+B）
∵ =﹣sin2C，∴sin（A+B）=﹣sin2C，
∵sin（A+B）=sn（π﹣C）=sinC，
∴sinC=﹣2sinCcosC，
结合sinC＞0，得﹣2cosC=1，cosC=﹣
∵C∈（0，π），∴C= ；
（Ⅱ）∵ ，
∴由正弦定理得 ．
又∵S△ABC= absinC= ab= ，∴ab=4，
由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣ab
∴c2= c2﹣ab，可得 =ab=4，解之得
【解析】（I）根据向量数量积的坐标公式，结合题意得 =sin（A+B）=﹣sin2C，利用二倍角的三角函数公式和诱导公式化简得cosC=﹣ ，由此即可算出角C的大小；（II）根据题意，由正弦定理得到 ．由三角形面积公式算出ab=4，再由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC的式子联解，即可算出 ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解余弦定理的定义的相关知识，掌握余弦定理:;;．