Question

【题目】如图，在三棱柱中，为正三角形，平面平面，，为的中点，．

（1）求证：；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）利用面面垂直的性质定理可得平面,由线面垂直的性质可得线线垂直；

（2）故以为坐标原点,分别以的方向为轴建立空间直角坐标系,

分别求得平面与平面的法向量,利用空间向量求二面角的余弦值.

（1）证明:∵,为的中点,

∴,

∵平面平面,平面平面,平面,

∵平面,

∴；

（2）连接,

∵,,

∴为正三角形,

∵为的中点,

∴,

∵平面平面,平面平面,平面,

∴平面,

故以为坐标原点,分别以的方向为轴建立空间直角坐标系,如图所示,

则,,,,,

设为平面的法向量,

则,

即,可取,则,

由（1）知为平面的法向量,

于是,

∴二面角的平面角的余弦值为