Question

1．点A位于双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上，F₁F₂是它的两个焦点，求△AF₁F₂的重心G的轨迹方程．

Answer 1

分析 设A（m，n），两焦点的坐标，△AF₁F₂的重心G为（x，y），由重心坐标公式和代入法，即可得到所求轨迹方程．

解答 解：设A（m，n），则$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，①
F₁（-c，0），F₂（c，0），
设△AF₁F₂的重心G为（x，y），
则$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-c+c+m}{3}}\\{y=\frac{n}{3}}\end{array}\right.$，即为$\left\{\begin{array}{l}{m=3x}\\{n=3y}\end{array}\right.$，
代入①可得，$\frac{9{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{9{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1．
即有所求重心G的轨迹方程为$\frac{9{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{9{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程和运用，考查三角形的重心坐标的求法，以及求轨迹方程的方法：代入法，属于中档题．