题目内容
3．已知抛物线x2=4y的焦点为F．（1）已知x轴上一点E，若线段EF的中点在抛物线上，求点E的坐标；
（2）直线l过点F，与抛物线交于A、B两点，且$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，求直线l的斜率；
（3）若M、N为抛物线上任意两点，且以MN为直径的圆过原点O，求证：直线MN经过定点，并写出这个定点的坐标；
（4）过抛物线上一点P（-4，4）作两条关于直线y=4对称的直线分别交抛物线于C、D两点，求直线CD的斜率；
（5）若斜率为2的直线与抛物线交于G、H两点，求线段GH的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围．
分析 （1）设出E点坐标，再设出EF中点坐标，由中点坐标公式把中点坐标用E的坐标表示，代入抛物线方程求得E的坐标；
（2）设出直线l的方程为y=kx+1，联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，求出两交点坐标，结合$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，求得k的值；
（3）设M（s，$\frac{1}{4}{s}^{2}$），N（t，$\frac{1}{4}{t}^{2}$），由OM⊥ON，得到st=-16，由两点求斜率得到直线MN的斜率为$\frac{\frac{1}{4}（{t}^{2}-{s}^{2}）}{t-s}=\frac{1}{4}（s+t）$，化简得到$y=\frac{1}{4}（s+t）x+4$，由此可说明直线必过（0，4）点；
（4）设PC所在直线方程为y-4=k（x+4），则PD所在直线方程为y-4=-k（x+4），分别联立两直线方程与抛物线方程，求出C，D坐标，由斜率公式即可求得直线CD的斜率；
（5）设G、H所在直线方程为y=2x+b，联立直线方程和抛物线方程，由判别式大于0求出b的范围，由根与系数关系求得GH中点坐标，得到线段GH的垂直平分线方程，取x=0，可得线段GH的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围．
解答 （1）解：由x2=4y，得F（0，1），设E（m，0），EF中点为（x，y），
由$\left\{\begin{array}{l}{0+m=2x}\\{1+0=2y}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{m}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，代入x2=4y，得$\frac{{m}^{2}}{4}=4×\frac{1}{2}$，解得：m=$±2\sqrt{2}$．
∴E（$±2\sqrt{2}，0$）；
（2）解：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=kx+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x2-4kx-4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2k-2\sqrt{{k}^{2}+1}}\\{{x}_{2}=2k+2\sqrt{{k}^{2}+1}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2k+2\sqrt{{k}^{2}+1}}\\{{x}_{2}=2k-2\sqrt{{k}^{2}+1}}\end{array}\right.$．
由$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，得（-x1，1-y1）=2（x2，y2-1）=（2x2，2y2-2），即-x1=2x2．
把x1，x2分别代入-x1=2x2．解得：k=$±\frac{\sqrt{2}}{4}$；
（3）证明：∵M、N为抛物线上任意两点，∴设M（s，$\frac{1}{4}{s}^{2}$），N（t，$\frac{1}{4}{t}^{2}$），
∵OM⊥ON，∴$st+\frac{{s}^{2}{t}^{2}}{16}=0$，即st=-16，
直线MN的斜率为$\frac{\frac{1}{4}（{t}^{2}-{s}^{2}）}{t-s}=\frac{1}{4}（s+t）$，
∴直线MN利用点斜式方程为y-$\frac{1}{4}{s}^{2}=\frac{1}{4}（s+t）（x-s）$，化简得到$y=\frac{1}{4}（s+t）x+4$．
∴直线必过（0，4）点；
（4）解：设PC所在直线方程为y-4=k（x+4），则PD所在直线方程为y-4=-k（x+4），
再设C（x3，y3），D（x4，y4），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+4k+4}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得：x2-4kx-16k-16=0，
由x3-4=4k，得x3=4k+4，则${y}_{3}=4{k}^{2}+8k+4$；
同理求得x4=-4k+4，${y}_{4}=4{k}^{2}-8k+4$．
则${k}_{CD}=\frac{{y}_{3}-{y}_{4}}{{x}_{3}-{x}_{4}}=\frac{16k}{8k}=2$；
（5）设G、H所在直线方程为y=2x+b，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+b}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x2-8x-4b=0．
由△=（-8）2+16b＞0，得b＞-4．
再设C（x5，y5），H（x6，y6），
则x5+x6=8，∴G，H中点横坐标为4，纵坐标为8+b，
则线段GH的垂直平分线方程为y-8-b=$-\frac{1}{2}$（x-4），
取x=0，得y=10+b，
∵b＞-4，∴y＞6．
则线段GH的垂直平分线在y轴上的截距的取值范围是（6，+∞）．
点评 本题主要考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识．考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力，是中档题．
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2，∠ABC=120°，D为AC的中点，P为棱A1B上的动点．
从某校的800名男生中随机抽取50人测量身高，被测学生身高介于介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…..，第八组[190，195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
已知直三棱柱ABC-A′B′C′满足∠BAC=90°，AB=AC=$\frac{1}{2}$AA′=2，点M、N分别为A′B，B′C′的中点．| 空气质量等级 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
| AQI值范围 | [0，50） | [50，100） | [100，150） | [150，200） | [200，300） | 300及以上 |
| 西部城市 | AQI数值 | 东部城市 | AQI数值 |
| 西安 | 108 | 北京 | 104 |
| 西宁 | 92 | 金门 | 42 |
| 克拉玛依 | 37 | 上海 | x |
| 鄂尔多斯 | 56 | 苏州 | 114 |
| 巴彦淖尔 | 61 | 天津 | 105 |
| 库尔勒 | 456 | 石家庄 | 93 |
| AQI平均值：135 | AQI平均值：90 | ||
（Ⅱ）环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．