题目内容

13.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2,∠ABC=120°,D为AC的中点,P为棱A1B上的动点.
(1)探究:AP能否与平面A1BC垂直?
(2)若AA1=$\sqrt{6}$,求二面角A1-BD-B1的余弦值.

分析 (1)假设AP能与平面A1BC垂直,则AP⊥BC,由直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥BC,可得BC⊥平面AA1B,因此BC⊥AB,与已知∠ABC=120°矛盾,即可判断出结论;
(2)设点E是A1C1的中点,分别以DB,DC,DE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系D-xyz.设平面A1BD的法向量为$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=-\sqrt{3}y+\sqrt{6}z=0}\end{array}\right.$,可得$\overrightarrow{m}$,取平面BDB1的法向量为$\overrightarrow{n}$=(0,1,0).利用$cos<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$即可得出.

解答 解:(1)假设AP能与平面A1BC垂直,则AP⊥BC,
由直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥BC,又AA1∩AP=A,可得BC⊥平面AA1B,
∴BC⊥AB,与已知∠ABC=120°矛盾,
因此假设不成立,
故P在棱A1B上的什么位置:不可能有AP⊥平面A1BC垂直.
(2)设点E是A1C1的中点,分别以DB,DC,DE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系D-xyz.
则D(0,0,0),B(1,0,0),A(0,-$\sqrt{3}$,0),A1$(0,-\sqrt{3},\sqrt{6})$.
$\overrightarrow{DB}$=(1,0,0),$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=$(0,-\sqrt{3},\sqrt{6})$,
设平面A1BD的法向量为$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=x=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=-\sqrt{3}y+\sqrt{6}z=0}\end{array}\right.$,
取$\overrightarrow{m}$=$(0,\sqrt{2},1)$,
取平面BDB1的法向量为$\overrightarrow{n}$=(0,1,0).
∴$cos<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$.

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、二面角的计算公式、反证法,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于中档题.

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