Question

10．已知f（x）=x³-3x的值域为{-2，0，2}，则x的个数有7．

Answer 1

分析 求f′（x），根据导数符号即可判断f（x）的单调性，从而可判断出f（x）的极大值为f（-1）=2，极小值为f（1）=-2，这样便可画出f（x）的草图，根据图象得出f（x）和y=-2，y=0，和y=2的交点个数，从而得出x的个数．

解答 解：f′（x）=3x²-3；
∴x＜-1时，f′（x）＞0，-1＜x＜1时，f′（x）＜0，x＞1时，f′（x）＞0；
∴x=-1时f（x）取极大值2，x=1时，f（x）取极小值-2，f（0）=0；
∴f（x）的草图如下：

由图象可看出f（x）和直线y=2，及y=-2都有两个交点，和y=0有三个交点；
∴使f（x）的值域为{-2，0，2}的x个数为7．
故答案为：7．

点评 考查函数值域的概念，函数导数符号和函数单调性的关系，以及函数极值的概念及求法，数形结合解题的方法，清楚曲线交点情况和曲线方程形成方程组解的关系．