Question

13．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值．
（1）y=2x+$\frac{1}{x-3}$，x＞3；
（2）当x∈[1，3]时，不等式ax²+x+2≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用基本不等式即可得到最小值；
（2）由题意可得-a≤$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$在[1，3]恒成立．由二次函数的最值求法，可得右边函数的最小值，即可得到所求范围．

解答 解：（1）由x＞3，则x-3＞0，
即有y=2（x-3）+$\frac{1}{x-3}$+6≥2$\sqrt{2（x-3）•\frac{1}{x-3}}$+6
=2$\sqrt{2}$+6，
当且仅当x=3+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，函数y取得最小值，且为6+2$\sqrt{2}$；
（2）当x∈[1，3]时，不等式ax²+x+2≥0恒成立，
即为-a≤$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$在[1，3]恒成立．
由y=$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$=2（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{8}$，
由1≤x≤3，可得$\frac{1}{3}$≤$\frac{1}{x}$≤1，
则函数y的最小值为2（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{8}$，且为$\frac{5}{9}$．
即有-a≤$\frac{5}{9}$，
解得a≥-$\frac{5}{9}$．
则a的取值范围为[-$\frac{5}{9}$，+∞）．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，同时考查不等式恒成立思想的运用，考查运算能力，属于中档题．