Question

1．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x+1}+a}{{2}^{x}+1}$（其中a为常数）是定义在R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）若（2^t+1）f（t）+m•4^t≥1对于任意实数t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的定义求出a的值即可；（2）根据函数单调性的定义证明即可；（3）问题转化为m≥$\frac{3{-2}^{t+1}}{{2}^{2t}}$对于任意实数t∈[1，2]恒成立，结合函数的单调性，从而求出m的范围．

解答 解：（1）若函数f（x）=$\frac{{2}^{x+1}+a}{{2}^{x}+1}$（其中a为常数）是定义在R上的奇函数，
则f（-x）=$\frac{{2}^{-x+1}+a}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{a{•2}^{x}+2}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{-2}^{x+1}-a}{{2}^{x}+1}$=-f（x），
∴a=-2；
（2）由（1）得：f（x）=$\frac{{2}^{x+1}-2}{{2}^{x}+1}$=2-$\frac{4}{{2}^{x}+1}$，
设x₁＞x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=2-$\frac{4}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-2+$\frac{4}{{2}^{{x}_{2}}+1}$
=$\frac{4{（2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{2}}+1）{（2}^{{x}_{1}}+1）}$，
∵x₁＞x₂，∴${2}^{{x}_{1}}$＞${2}^{{x}_{2}}$，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在R单调递增；
（3）若（2^t+1）f（t）+m•4^t≥1对于任意实数t∈[1，2]恒成立
?2^t+1-2+m•2^2t≥1对于任意实数t∈[1，2]恒成立
?m≥$\frac{3{-2}^{t+1}}{{2}^{2t}}$对于任意实数t∈[1，2]恒成立，
令h（t）=$\frac{3{-2}^{t+1}}{{2}^{2t}}$=3${（\frac{1}{{2}^{t}}-\frac{1}{3}）}^{2}$-$\frac{1}{3}$，
由t∈[1，2]得：$\frac{1}{{2}^{t}}$∈[$\frac{1}{4，}$，$\frac{1}{2}$]，
∴h（t）_max=h（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，
∴m≥-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性问题，考查函数恒成立问题，是一道中档题．