题目内容

【题目】已知函数f(x)=ax3x2+1(xR),其中a>0.

(1)若a=1,求曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程;

(2)若在区间上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.

【答案】(1)y=6x-9.(2)0<a<5.

【解析】试题分析:(1)利用导数求切线斜率即可;
(2)在区间上,恒成立恒成立,令,解得,以下分两种情况讨论,分类求出函数最大值即可.

试题解析:(1)当a=1时,f(x)=x3x2+1,f(2)=3;f' (x)=3x2-3xf' (2)=6.

所以曲线yf(x) 在点(2,f(2))处的切线方程y-3=6(x-2),即y=6x-9.

(2)f' (x)=3ax2-3x=3x(ax-1),令f' (x)=0,解得x=0或x

以下分两种情况讨论:

①若0<a≤2,则,当x变化时,f' (x),f(x)的变化情况如下表:

x

(-,0)

0

(0,

f' (x)

0

f(x)

递增

极大值

递减

x[-]上,f(x)>0等价于,即解不等式组得-5<a<5.因此0<a≤2.

②若a>2,则0<,当x变化时,f' (x),f(x)的变化情况如下表:

X

(-,0)

0

(0,

f' (x)

0

0

f'(x)

递增

极大值

递减

极小值

递增

x[-]上,f(x)>0等价于,即解不等式组得a<5,或a<-.因此2<a<5. 综合①和②,可知a的取值范围为0<a<5.

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