题目内容
【题目】已知函数.
(1)求曲线在点
处的切线方程;
(2)若且
,
.
(i)求实数的最大值;
(ii)证明不等式: .
【答案】(1);(2)(i)
;(ii)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)先求出导函数,再根据,
由点斜式可得曲线
在点
处的切线方程;(2)(i)
等价于
,讨论
时、当
时两种情况,排除不合题意的
的值,即可得实数
的最大值,(ii)当
时整理得
,令
,则
,进而可证原不等式.
试题解析:(1)由题意且
,
∴,
又
,
∴在点
处的切线方程为
即
(2)(i)由题意知,
设,
则,
设,
则,
(1)当时,∵
,∴
,
∴在
上单调递增,又
,
∴时,
,又
,
∴,不符合题意.
(2)当时,设
,
①若,即
时,
恒成立,
即在
恒成立,∴
在
上单调递减又
,
∴时,
,
,
,
时,
,
,
,符合题意.
②若,即
时,
的对称轴
,
∴在
上单调递增,
∴时,
,
∴,
∴在
上单调递增,
∴,
而,∴
,不符合题意,
综上所述.
(ii)由(i)知时,
,
当时整理得
,
令,则
,
∴,
∴,
∴,
即
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