题目内容
【题目】如图，已知平面
平面
，四边形
是正方形，四边形是菱形，且
，
，点
、
分别为边
、
的中点，点
是线段
上的动点．
（1）求证：
；
（2）求三棱锥
的体积的最大值．
【答案】（1）见解析;（2）
．
【解析】【试题分析】（1）依据题设条件，运用线面垂直的性质定理推证；（2）借助题设条件，运用三棱锥的体积公式建立目标函数，通过探求函数的变量之间的联系分析探求最大值：
（1）证明：连接
、
相交于点
．
因为四边形
为正方形，所以
，
又因为平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面．
而
平面，所以
．
因为四边形为菱形，所以
．
因为
，所以
平面
．
因为
、
分别为
、
的中点，所以
，则
平面．
而
平面，所以
．
（2）解：在菱形中，由
，得
．
又因为
，所以
，
因为平面，即
平面，所以
．
显然，当点
与点
重合时，
取最大值2，此时
，
即三棱锥
的体积的最大值为．
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