Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点
（1）证明：AD⊥D₁F；
（2）求AE与D₁F所成的角；
（3）证明：面AED⊥面A₁FD₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲证明：AD⊥D₁F，可通过证明线面垂直得到，故先证AD⊥面DC₁，即可；
（2）欲求AE与D₁F所成的角，必须先找出求AE与D₁F所成的角，利用正方体中平行线，即可知道是∠AHA₁是AE与D₁F所成的角即为所求，最后利用证三角形全等即得．
（3）欲证明：面AED⊥面A₁FD₁．根据面面垂直的判定定理知，只须证明线面垂直：D₁F⊥面AED，即得．
解答：解：（1）∵AC₁是正方体
∴AD⊥面DC₁，
又D₁F?面DC₁，
∴AD⊥D₁F
（2）取AB中点G，连接A₁G，FG，
∵F是CD中点
∴
∴
则∠AHA₁是AE与D₁F所成的角
∵E是BB₁的中点∴Rt△A₁AG≌Rt△ABE
∴∠GA₁A=∠GAH∴∠A₁HA=90°即直线AE与D₁F所成角是直角
（3）∵AD⊥D₁F（（1）中已证）
AE⊥D₁F，又AD∩AE=A，∴D₁F⊥面AED，又∵D₁F?面A₁FD₁，
∴面AED⊥面A₁FD₁
点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角、平面与平面垂直的判定，以及空间想象力、转化思想方法，属于中档题．