题目内容

13.已知空间四边形OABC,如图所示,其对角线为OB,AC.M,N分别为OA,BC的中点,点G在线段MN上,且$\overrightarrow{MG}$=2$\overrightarrow{GN}$,现用基向量$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$,$\overrightarrow{OC}$表示向量$\overrightarrow{OG}$,并设$\overrightarrow{OG}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$,则x+y+z=$\frac{5}{6}$.

分析 结合图形,由M、N是OM、BC的中点,用$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$表示出$\overrightarrow{OM}$、$\overrightarrow{ON}$,
从而得出$\overrightarrow{MN}$,$\overrightarrow{MG}$,即可得出$\overrightarrow{OG}$.

解答 解:如图所示,
连接ON,∵M、N是OM、BC的中点,
∴$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{ON}$=$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$),
∴$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$)-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$,
又∵$\overrightarrow{MG}$=2$\overrightarrow{GN}$,
∴$\overrightarrow{MG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{3}$($\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$);
∴$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{MG}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$($\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$)=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$,
∴x+y+z=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{6}$.
故答案为:$\frac{5}{6}$.

点评 本题考查了空间向量的线性表示的应用问题,解题时应类比平面向量的线性运算,是基础题目.

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