题目内容
13.已知空间四边形OABC,如图所示,其对角线为OB,AC.M,N分别为OA,BC的中点,点G在线段MN上,且$\overrightarrow{MG}$=2$\overrightarrow{GN}$,现用基向量$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$,$\overrightarrow{OC}$表示向量$\overrightarrow{OG}$,并设$\overrightarrow{OG}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$,则x+y+z=$\frac{5}{6}$.分析 结合图形,由M、N是OM、BC的中点,用$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$表示出$\overrightarrow{OM}$、$\overrightarrow{ON}$,
从而得出$\overrightarrow{MN}$,$\overrightarrow{MG}$,即可得出$\overrightarrow{OG}$.
解答 解:如图所示,
连接ON,∵M、N是OM、BC的中点,
∴$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{ON}$=$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$),
∴$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$)-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$,
又∵$\overrightarrow{MG}$=2$\overrightarrow{GN}$,
∴$\overrightarrow{MG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{3}$($\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$);
∴$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{MG}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$($\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$)=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$,
∴x+y+z=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{6}$.
故答案为:$\frac{5}{6}$.
点评 本题考查了空间向量的线性表示的应用问题,解题时应类比平面向量的线性运算,是基础题目.
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{2}{3}$ | C. | $\frac{3}{4}$ | D. | $\frac{1}{3}$ |
A. | 2k+2 | B. | 2k+3 | C. | 2k+1 | D. | (2k+2)+(2k+3) |
A. | -2 | B. | 2 | C. | $-\frac{9}{4}$ | D. | $\frac{9}{4}$ |
十二进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B |
十进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |