题目内容
【题目】设椭圆
的左、右顶点分别为
，
，上顶点为B，右焦点为F，已知直线
的倾斜角为120°，
.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P为椭圆C上不同于，的一点，O为坐标原点，线段
的垂直平分线交
于M点，过M且垂直于
的直线交y轴于Q点，若
，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）利用直线
的倾斜角、
的值列方程，结合
，求得
的值，进而求得椭圆的方程.（2）设出直线
的方程，由此求得
点坐标，由此求得直线
的方程，进而求得
点坐标，联立直线的方程和椭圆方程，求得
点坐标，将
转化为两条直线斜率乘积等于
列方程，解方程求得直线的斜率，进而求得直线的方程.
解：（1）设焦距为2c，因为直线BF的倾斜角为120°，所以
，即
，又因为
，所以
，即
，代入，并化简得
，解得
，所以
，
，椭圆C的方程为.
（2）设
，直线的方程为
，令
，得
，即
，则
，直线
，令
，得
，联立方程组
，并消去y得
，由
，得
，把代入，得
，得
.又
，则
，同理
，，所以
，解得
，所以直线的方程为.
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