题目内容
【题目】设椭圆的左、右顶点分别为
,
,上顶点为B,右焦点为F,已知直线
的倾斜角为120°,
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P为椭圆C上不同于,
的一点,O为坐标原点,线段
的垂直平分线交
于M点,过M且垂直于
的直线交y轴于Q点,若
,求直线
的方程.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)利用直线的倾斜角、
的值列方程,结合
,求得
的值,进而求得椭圆的方程.(2)设出直线
的方程,由此求得
点坐标,由此求得直线
的方程,进而求得
点坐标,联立直线
的方程和椭圆方程,求得
点坐标,将
转化为两条直线斜率乘积等于
列方程,解方程求得直线
的斜率,进而求得直线
的方程.
解:(1)设焦距为2c,因为直线BF的倾斜角为120°,所以,即
,又因为
,所以
,即
,代入
,并化简得
,解得
,所以
,
,椭圆C的方程为
.
(2)设,直线
的方程为
,令
,得
,即
,则
,直线
,令
,得
,联立方程组
,并消去y得
,由
,得
,把
代入
,得
,得
.又
,则
,同理
,
,所以
,解得
,所以直线
的方程为
.
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