Question

【题目】过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.

Answer 1

【答案】

【解析】

设点的坐标为，用表示出两点的坐标，再利用得出满足的方程，注意讨论斜率不存在的情形．

如图所示,设点A(a,0),B(0,b),M(x,y).因为M为线段AB的中点,所以a=2x,b=2y,即A(2x,0),B(0,2y).

当2x≠2,即x≠1时,因为l1⊥l2,所以kAP·kPB=-1.而kAP=(x≠1),

kPB=,所以·=-1(x≠1),

整理得,x+2y-5=0(x≠1).

因为当x=1时,A,B的坐标分别为(2,0),(0,4),所以线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0.

综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.